14630. Около сферы радиуса R
описан конус, в котором три образующие попарно перпендикулярны. Найдите объём конуса и площадь его полной поверхности.
Ответ. V=\frac{1}{6}\pi R^{3}\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{3}
, S=\frac{1}{2}\pi R^{2}(22+9\sqrt{6})
.
Решение. Пусть l
, r
, h
, V
и S
— образующая, радиус основания конуса, высота конуса, его объём и площадь полной поверхности соответственно, P
— вершина конуса, PA=PB=PL=l
— три попарно перпендикулярные образующие.
Рассмотрим правильную треугольную пирамиду PABC
с плоскими прямыми углами при вершине S
. Сфера, вписанная в конус, касается её боковых рёбер и плоскости основания в центре H
окружности основания конуса, т. е. в центре равностороннего треугольника ABC
. Пусть O
— центр сферы, M
— середина ребра AB
, K
— точка касания с боковым ребром PC
. Обозначим AB=a
, \angle PCH=\alpha
— угол бокового ребра с основанием. Тогда r=HC=\frac{a\sqrt{3}}{3}
.
Из равнобедренного прямоугольного треугольника APB
получаем
l=PA=\frac{a\sqrt{2}}{2},~PM=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.
Из прямоугольных треугольника PHM
получаем
h=PH=\sqrt{PC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2})}=\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}},
\sin\alpha=\frac{PH}{PC}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Центр O
сферы лежит на высоте PH
конуса и на биссектрисе угла PCH
, поэтому
R=OH=CH\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\frac{a\sqrt{3}}{3(\sqrt{3}+\sqrt{2})},
откуда a=R\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})
. Следовательно,
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\cdot\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{a^{2}}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=
=\frac{\pi a^{3}\sqrt{2}}{18\sqrt{3}}=\frac{\pi\sqrt{2}}{18\sqrt{3}}\cdot3R^{3}\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{3}=\frac{1}{6}\pi R^{3}\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{3},
S=\pi rl+\pi r^{2}=\pi r(l+r)=\pi\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{\pi a^{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}=
=\frac{\pi(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3\sqrt{2}}\cdot3R^{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}=\frac{\pi R^{2}\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{3}}{2}=\frac{1}{2}\pi R^{2}(22+9\sqrt{6}).