14631. Диагональ куба с ребром a
служит осью цилиндра, окружности основания которого касаются граней куба в их центрах. Найдите объём цилиндра.
Ответ. \frac{\pi a^{3}\sqrt{3}}{18}
.
Решение. Пусть r
, h
и V
— соответственно радиус основания, высота и объём цилиндра. Рассмотрим куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
. Пусть окружность основания цилиндра касается граней ABCD
, AA_{1}B_{1}B
и BB_{1}C_{1}C
в их центрах Эта окружность вписана в равносторонний треугольник AB_{1}C
со сторонами a\sqrt{2}
. Значит,
r=\frac{a\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{6}=\frac{a}{\sqrt{6}}.
Окружность второго основания цилиндра вписана в треугольник A_{1}DC_{1}
. Плоскости AB_{1}C
и A_{1}DC_{1}
перпендикулярны диагонали BD_{1}
и разбивают её на три равные части, поэтому высота цилиндра равна трети диагонали куба, т. е.
h=\frac{1}{3}BD_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{a}{6}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi a^{3}\sqrt{3}}{18}.