14649. В двугранный угол вписаны два шара так, что они касаются друг друга. Радиус одного из шаров в два раза больше радиуса другого, а прямая, проходящая через центры шаров, образует угол 45^{\circ}
с ребром двугранного угла. Найдите величину двугранного угла.
Ответ. \arccos\frac{5}{9}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры шаров радиусов соответственно 2R
и R
, вписанных в двугранный угол величины \alpha
, O_{1}A
и O_{2}B
— перпендикуляры к ребру двугранного угла, A_{1}
и B_{1}
— точки касания соответственно первого второго шаров с одной из граней двугранного угла. Поскольку шары касаются
O_{1}O_{2}=2R+R=3R.
Точки O_{1}
и O_{2}
лежат в биссекторной плоскости двугранного угла, поэтому линия центров шаров пересекает ребро двугранного угла в некоторой точке C
. По условию \angle ACO_{1}=45^{\circ}
.
По теореме о трёх перпендикулярах O_{1}A\perp AB
и O_{2}B\perp AB
, поэтому
\angle O_{1}AA_{1}=\angle O_{2}BB_{1}=\frac{\alpha}{2}.
Из прямоугольных треугольников AA_{1}O_{1}
, BB_{1}O_{2}
, O_{1}AC
и O_{2}BC
получаем
O_{1}A=\frac{2R}{\sin\frac{\alpha}{2}},~O_{2}B=\frac{R}{\sin\frac{\alpha}{2}},
O_{1}C=O_{1}O_{2}+O_{2}C=3R+\frac{O_{2}B}{\sin45^{\circ}}=3R+\frac{R\sqrt{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}},
O_{1}C=\frac{O_{1}A}{\sin45^{\circ}}=O_{1}A\sqrt{2}=\frac{2R\sqrt{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}.
Из равенства
3R+\frac{R\sqrt{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{2R\sqrt{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}
Находим, что \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}
. Тогда
\cos\alpha=1-2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1-2\cdot\frac{2}{9}=\frac{5}{9}.
Следовательно, \alpha=\arccos\frac{5}{9}
.