14667. Даны три попарно скрещивающиеся прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте треугольник, вершины которого лежат на этих прямых, а медианы пересекаются в данной точке.
Решение. Пусть l
, m
и n
— данные прямые, G
— данная точка, а l'
— прямая, гомотетичная прямой l
с центром гомотетии G
и коэффициентом -\frac{1}{2}
. Геометрическое место середин отрезков с концами на прямых m
и n
— плоскость \alpha
, проходящая через середину какого-то из этих отрезков, параллельно прямым m
и n
(см. задачу 7232). Пусть плоскость \alpha
пересекает прямую l'
в точке A'
, а параллельную l'
прямую l
— в точке A
. Через точку A'
проведём прямую, пересекающую прямые m
и n
в точках B
и C
(см. задачу 7104). Тогда A'
— середина отрезка BC
, а точка G
лежат на медиане AA'
треугольника ABC
и делит её отношении 2:1
, считая от A
. Следовательно, G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Если плоскость \alpha
параллельна прямой l'
, то решений нет, а если прямая l'
лежит в плоскости \alpha
, то решений бесконечно много.
Аналогичное решение для случаев, когда рассуждение начинается с прямой m
или n
.