14683. Противоположные стороны пространственного шестиугольника ABCDEF
попарно равны и параллельны. Докажите, что середины всех шести сторон этого шестиугольника лежат в одной плоскости.
Решение. Рассмотрим параллелепипед ABCD_{1}FB_{1}DE
(AF\parallel BB_{1}\parallel CD\parallel D_{1}E)
. Плоскость, проведённая через середины K
, L
и G
его рёбер AB
, BC
и EF
соответственно, пересекает рёбра CD
, DE
и AF
в их серединах M
, N
и H
. Следовательно, все шесть середин сторон данного шестиугольника лежат в этой плоскости. Что и требовалось доказать.