1487. В окружности проведены диаметр AB
и не пересекающая его хорда CD
. Пусть E
и F
— основания перпендикуляров, опущенных из точек A
и B
на прямую CD
. Докажите, что площадь четырёхугольника AEFB
равна сумме площадей треугольников ABC
и ABD
.
Решение. Пусть радиус окружности равен R
. Обозначим \angle BAD=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Из прямоугольных треугольников ABD
и ABC
находим, что
AD=2R\cos\alpha,~BD=2R\sin\alpha,~AC=2R\sin\beta,~BC=2R\cos\beta.
Тогда
S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AC\cdot BC+\frac{1}{2}AD\cdot BD=\frac{1}{2}(4R^{2}\sin\beta\cos\beta+4R^{2}\sin\alpha\cos\alpha)=
=R^{2}(\sin2\beta+\sin2\alpha)=2R^{2}\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta).
Вписанные углы BCD
и BAD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle BCD=\angle BAD=\alpha
. Аналогично \angle ADC=\angle ABC=\beta
. Тогда
\angle ACE=180^{\circ}-\angle ACB-\angle BCD=180^{\circ}-90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-\alpha,~
поэтому \angle CAE=\alpha
. Аналогично \angle DBF=\beta
.
Из прямоугольных треугольников ADE
и BDF
находим, что
DE=AD\cos\angle ADE=2R\cos\alpha\cos\beta,~DF=BD\sin\angle DBF=2R\sin\alpha\sin\beta,
поэтому
EF=ED+DF=2R\cos\alpha\cos\beta+2R\sin\alpha\sin\beta=2R\cos(\alpha-\beta).
Четырёхугольник AEFB
— прямоугольная трапеция (или прямоугольник) с основаниями AE=AC\cos\alpha=2R\sin\beta\cos\alpha
и BF=BD\cos\beta=2R\sin\alpha\cos\beta
, поэтому
S_{AEBF}=\frac{1}{2}(AE+BF)\cdot EF=\frac{1}{2}(2R\sin\beta\cos\alpha+2R\sin\alpha\cos\beta)\cdot2R\cos(\alpha-\beta)=
=2R^{2}\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABD}.
Что и требовалось доказать.