1502. Боковая сторона AB
трапеции ABCD
разделена на пять равных частей, и через третью точку деления, считая от точки B
, проведена прямая, параллельная основаниям BC
и AD
. Найдите отрезок этой прямой, заключённый между сторонами трапеции, если BC=a
и AD=b
.
Ответ. \frac{2a+3b}{5}
.
Указание. Проведите диагональ трапеции.
Решение. Пусть M
— данная точка на AB
(BM:AM=3:2
), MN
— искомый отрезок. Тогда по теореме Фалеса CN:DN=BM:AM=3:2
.
Первый способ. Проведём диагональ AC
и обозначим через K
точку её пересечения с MN
. Из подобия треугольников AMK
и ABC
находим, что MK=\frac{2}{5}a
, а из подобия треугольников CKN
и CAD
— KN=\frac{3}{5}b
. Следовательно,
MN=MK+KN=\frac{2}{5}a+\frac{3}{5}b=\frac{2a+3b}{5}.
Второй способ. Пусть a\lt b
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
. Пусть P
— точка её пересечения с основанием AD
, а Q
— с отрезком MN
.
Из подобия треугольников CQN
и CPD
находим, что
QN=\frac{3}{5}PD=\frac{3}{5}(b-a).
Тогда
MN=b+\frac{3}{5}(b-a)=\frac{2a+3b}{5}.
Аналогично для a\gt b
.
Примечание. Аналогично доказывается следующее общее утверждение. Если через точку M
, лежащую на боковой стороне AB
трапеции ABCD
и делящую эту сторону в отношении BM:MA=p:q
, проведена прямая, параллельная основаниям BC=a
и AD=b
, то отрезок этой прямой, заключённый между сторонами трапеции, равен \frac{aq+bp}{p+q}
.