1522. В треугольник, у которого основание равно 30, а высота равна 10, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу.
Ответ. 12.
Указание. Используйте равенство отношений соответствующих высот к основаниям в подобных треугольниках.
Решение. Пусть вершины M
и N
гипотенузы находятся на сторонах соответственно AC
и BC
треугольника ABC
, а вершины прямого угла K
— на основании AB
. Обозначим через x
высоту треугольника MNK
, проведённую из вершины K
. Тогда MN=2x
.
Высоты подобных треугольников MCN
и ACB
, проведённые из вершины C
, относятся как основания MN
и AB
, т. е.
\frac{10-x}{10}=\frac{2x}{30}.
Следовательно, x=6
и MN=2x=12
.