1537. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
взяты соответственно точки M
и N
, причём MN\parallel BC
. На отрезке MN
взята точка P
, причём MP=\frac{1}{3}MN
. Прямая AP
пересекает сторону BC
в точке Q
. Докажите, что BQ=\frac{1}{3}BC
.
Указание. Рассмотрите две пары подобных треугольников или примените гомотетию.
Решение. Треугольник AMP
подобен треугольнику ABQ
, а треугольник AMN
— треугольнику ABC
, причём коэффициент подобия один и тот же — \frac{AM}{AB}
. Следовательно,
BQ=MP\cdot\frac{AB}{AM}=\frac{1}{3}MN\cdot\frac{AB}{AM}=\frac{1}{3}BC.