1542. Диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Докажите, что AO\cdot BO=CO\cdot DO
тогда и только тогда, когда BC\parallel AD
.
Указание. Примените признаки подобия треугольников.
Решение. Если BC\parallel AD
, то треугольники BOC
и DOA
подобны по двум углам. Поэтому \frac{BO}{OD}=\frac{CO}{OA}
. Следовательно, AO\cdot BO=CO\cdot DO
.
Обратно, если AO\cdot BO=CO\cdot DO
, то \frac{BO}{OD}=\frac{CO}{OA}
и треугольники BOC
и DOA
подобны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \angle BCO=\angle DAO
. Следовательно, BC\parallel AD
.