1543. Точки M
и K
лежат на сторонах соответственно AB
и BC
треугольника ABC
, отрезки AK
и CM
пересекаются в точке P
. Известно, что каждый из отрезков AK
и CM
делится точкой P
в отношении 2:1
, считая от вершины. Докажите, что AK
и CM
— медианы треугольника.
Указание. Примените признаки подобия треугольников.
Решение. Поскольку \frac{AP}{PK}=\frac{CP}{PM}
и \angle APC=\angle KPM
, то треугольник APC
подобен треугольнику KPM
с коэффициентом 2. Поэтому MK=\frac{1}{2}AC
и \angle MKA=\angle CAK
. Значит, MK\parallel AC
и треугольник MBK
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{1}{2}
, т. е. M
и K
— середины сторон AB
и BC
.