1546. В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.
Указание. Примените замечательное свойство трапеции.
Решение. Первый способ. Пусть P
— точка пересечения боковых сторон AB
и DC
трапеции ABCD
, Q
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
. По замечательному свойству трапеции (см. задачу 1513) прямая QP
проходит через середину M
основания AD
, т. е. PM
— медиана треугольника APQ
.
Поскольку точка Q
равноудалена от сторон AP
и DP
угла APD
, то PM
— биссектриса треугольника APD
. Следовательно, этот треугольник — равнобедренный, AP=PD
. Поэтому и трапеция ABCD
— равнобедренная.
Второй способ. Пусть AD
и BC
— основания трапеции ABCD
, Q
— точка пересечения диагоналей. Из равенства площадей треугольников ACD
и ABD
следует равенство площадей треугольников DQC
и AQB
. Поскольку высоты этих треугольников, проведённые из вершины Q
, равны, то равны и стороны AB
и CD
, т. е. трапеция ABCD
— равнобедренная.