1583. Точка O
— центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC
(AB=BC)
. Прямая AO
пересекает отрезок BC
в точке M
. Найдите углы и площадь треугольника ABC
, если AO=3
, OM=\frac{27}{11}
.
Ответ. \arccos\frac{1}{9}
, 20\sqrt{5}
.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Решение. Поскольку CO
— биссектриса треугольника ACM
, то
\frac{CA}{CM}=\frac{AO}{OM}=\frac{11}{9}.
Пусть AC=11x
. Тогда MC=9x
. Поскольку AM
— биссектриса треугольника BAC
, то \frac{AB}{AC}=\frac{BM}{MC}
. Если AB=BC=y
,
\frac{y}{11x}=\frac{y-9x}{9x},~\mbox{или}~9y=11y-99x.
Отсюда находим, что y=\frac{99x}{2}
.
Если P
— середина AC
, то
\cos\angle BAC=\cos\angle BCA=\frac{PC}{BC}=\frac{\frac{11x}{2}}{\frac{99x}{2}}=\frac{1}{9}.
Из треугольника ACM
По теореме косинусов находим, что
AM^{2}=CA^{2}+CM^{2}-2CA\cdot CM\cos\angle ACB,
или
\left(\frac{60}{11}\right)^{2}=(11x)^{2}+(9x)^{2}-2\cdot11x\cdot9x\cdot\frac{1}{9}.
Из этого уравнения находим, что x^{2}=\frac{20}{121}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}CA\cdot CB\cdot\sin\angle ACB=
=\frac{1}{2}\cdot11x\cdot\frac{99x}{2}\cdot\frac{4\sqrt{5}}{9}=121\sqrt{5}x^{2}=20\sqrt{5}.