1587. Равнобедренные треугольники ABC
(AB=BC)
и A_{1}B_{1}C_{1}
(A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1})
подобны и AC:A_{1}C_{1}=5:\sqrt{3}
. Вершины A_{1}
и B_{1}
расположены соответственно на сторонах AC
и BC
, а вершина C_{1}
— на продолжении стороны AB
за точку B
, причём A_{1}B_{1}
перпендикулярно BC
. Найдите угол ABC
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Указание. Докажите, что C_{1}A_{1}
перпендикулярно AC
и составьте тригонометрическое уравнение относительно угла при основании равнобедренного треугольника ABC
.
Решение. Пусть A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}=x
, \angle ACB=\alpha
. Тогда
\angle C_{1}A_{1}C=\angle C_{1}A_{1}B_{1}+\angle B_{1}A_{1}C=\alpha+(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ},
A_{1}C=\frac{A_{1}B_{1}}{\sin\angle A_{1}CB_{1}}=\frac{x}{\sin\alpha},~C_{1}A_{1}=2A_{1}B_{1}\cos\alpha=2x\cos\alpha,
AA_{1}=C_{1}A_{1}\cos\angle A_{1}AB=2x\cos\alpha\cos\alpha=\frac{2x\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha},
AC=\frac{5A_{1}C_{1}}{\sqrt{3}}=\frac{10x\cos\alpha}{\sqrt{3}}.
Поскольку AC=AA_{1}+A_{1}C
, то
\frac{10x\cos\alpha}{\sqrt{3}}=\frac{2x\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}+\frac{x}{\sin\alpha}~\Leftrightarrow~\frac{10\sin\alpha\cos\alpha}{\sqrt{3}}=2\cos^{2}\alpha+1~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{10}{\sqrt{3}}\sin\alpha\cos\alpha~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin^{2}\alpha-\frac{10}{\sqrt{3}}\sin\alpha\cos\alpha+3\cos^{2}\alpha=0~\Leftrightarrow~\sqrt{3}\tg^{2}\alpha-10\tg\alpha+3\sqrt{3}=0.
Отсюда находим, что \tg\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}
или \tg\alpha=3\sqrt{3}
. Второе решение не удовлетворяет условию задачи, так как угол \alpha
меньше 45^{\circ}
(точка C_{1}
лежит на продолжении отрезка AB
за точку B
). Следовательно,
\alpha=30^{\circ},~\angle ABC=180^{\circ}-2\alpha=120^{\circ}.