16026. На одной из сторон угла с вершиной A
, равного 60^{\circ}
, отложен отрезок AP=10
. На другой стороне угла отмечена точка Q
, для которой сумма AP^{2}+AQ^{2}+PQ^{2}
минимальна. Найдите AQ
Ответ. \frac{5}{2}
Решение. На продолжении отрезка AQ
за точку Q
отложим отрезок QR=AQ
. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
4PQ^{2}=2AP^{2}+2PR^{2}-AR^{2}=2AP^{2}+2PR^{2}-4AQ^{2},
откуда
AQ^{2}+PQ^{2}=\frac{1}{2}(AP^{2}+PR^{2}).
Тогда сумма
AP^{2}+AQ^{2}+PQ^{2}=AP^{2}+\frac{1}{2}(AP^{2}+PR^{2})=\frac{3}{2}AP^{2}+\frac{1}{2}PR^{2}=15+\frac{1}{2}PR^{2}
минимальна тогда и только тогда, когда минимально PR
, т. е. тогда и только тогда, когда PR\perp AR
. В этом случае из прямоугольного треугольника APR
находим, что AR=\frac{1}{2}AP=5
. Следовательно, AQ=\frac{5}{2}
.