16058. Определите верхнюю и нижнюю границы суммы квадратов сторон четырёхугольника с данными диагоналями, равными f
и e
. (Верхнюю границу только для выпуклого четырёхугольника.)
Ответ. e^{2}+f^{2}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\lt2(e^{2}+ef+f^{2})
.
Решение. Пусть AB=a
, BC=b
, CD=c
и DA=d
— стороны четырёхугольника ABCD
с данными диагоналями AC=e
и BD=f
, пересекающимися в точке I
; U
и V
— середины AC
и BD
соответственно. Тогда (см. задачу 10871)
a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4UV^{2}\geqslant e^{2}+f^{2},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда UV=0
, т. е. тогда и только тогда, когда ABCD
— параллелограмм.
Пусть теперь четырёхугольник ABCD
выпуклый. Тогда
IU\lt\frac{1}{2}AC=\frac{e}{2},~IV\lt\frac{1}{2}BD=\frac{f}{2},
поэтому
UV\lt UI+VI\lt\frac{e}{2}+\frac{f}{2}=\frac{e+f}{2},
причём, при увеличения угла между диагоналями до 180^{\circ}
отрезок UV
стремится к \frac{e+f}{2}
, но остаётся строго меньше, чем \frac{e+f}{2}
. Следовательно,
a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4UV^{2}\lt e^{2}+f^{2}+4\left(\frac{e+f}{2}\right)^{2}=
=e^{2}+f^{2}+(e+f)^{2}=2(e^{2}+ef+f^{2}),
и улучшить эту верхнюю границу невозможно.