16059. Точка E
лежит на окружности с диаметром AC
. Постройте хорду BD
этой окружности, для которой площадь четырёхугольника ABCD
была бы наибольшей.
Решение. Пусть O
— центр окружности, а её радиус равен R
. Если точка E
совпадает с O
, то очевидно, что искомое наибольшее значение площади равно 2R^{2}
и достигается в случае, когда BD\perp AC
.
Пусть точка E
отлична от O
. Тогда
\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ODE}}=\frac{AC}{OE}=\frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle OBE}}.
Значит,
\frac{S_{ABCD}}{S_{\triangle OBD}}=\frac{AC}{OE}=k,
где k
— некоторая положительная константа, поэтому S_{ABCD}=kS_{\triangle OBD}
. Следовательно, площадь S_{ABCD}
максимальна тогда и только тогда, когда максимальна площадь S_{\triangle OBD}
.
Через точку E
проведём хорду PQ
перпендикулярную диаметру AC
. Поскольку PE\cdot EQ=BE\cdot ED
(см. задачу 2627) получаем
BD=BE+ED\geqslant2\sqrt{BE\cdot ED}=2\sqrt{PE\cdot EQ}=2\sqrt{PE^{2}}=2PE=PQ
(см. задачу 3399).
Если BD\ne PQ
, то BE\ne ED
, поэтому BD\gt PQ
и \angle BOD\gt\angle POQ
. Если \angle POQ\gt90^{\circ}
, то \sin BOD\lt\sin\angle POQ
. В этом случае наибольшее значение S_{\triangle OBD}
достигается в случае, когда точка B
совпадает с P
. Если же \angle POQ\lt90^{\circ}
, то наибольшее значение S_{\triangle OBD}
достигается, если \angle BAD=90^{\circ}
. В этом случае искомая площадь равна \frac{R^{2}}{2}
, а хорда BD
лежит на касательной, проведённой из точки E
к окружности с центром O
и радиусом \frac{R}{\sqrt{2}}
.