16069. Дан равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=AC\lt BC
. Точка P
лежит на стороне BC
, причём AP^{2}=BC\cdot PC
; CD
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что DA=DP
.
Решение. Пусть AQ
— высота равнобедренного треугольника ABC
. Тогда
AP^{2}=AQ^{2}+(QC-PC)^{2}=AQ^{2}+QC^{2}+PC^{2}-2QC\cdot PC=
=AC^{2}+PC^{2}-AP^{2},
откуда
2AP^{2}-PC^{2}=AC^{2}.
Значит,
DP^{2}=BD^{2}+(BC-PC)^{2}=BD^{2}+BC^{2}+PC^{2}-2BC\cdot PC=
=CD^{2}+PC^{2}-2AP^{2}=CD^{2}-AC^{2}=DA^{2}.
Следовательно, DP=DA
. Что и требовалось доказать.