16080. Через вершину C
треугольника ABC
проведена прямая l
, параллельная AB
. Биссектриса угла A
пересекает сторону BC
в точке D
, а прямую l
— в точке E
. Биссектриса угла B
пересекает сторону AC
в точке F
, а прямую l
— в точке G
. Докажите, что если GF=DE
, то AC=BC
.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, BC=a
, AC=b
и AB=c
. Пусть I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
.
Предположим, что AC\ne AB
, например, AC\gt BC
. Тогда \beta\gt\alpha
, \frac{\beta}{2}\gt\frac{\alpha}{2}
, поэтому AI\gt BI
(см. задачу 3499). Тогда из подобия треугольников CDI
и BDA
получаем, что IE\gt IG
, а так как GF=DE
, то ID\gt IF
. Следовательно,
AI+ID\gt BI+IF,~\mbox{или}~AD\gt BF.
Треугольники ABD
и ECD
подобны, поэтому (см. задачу 1509)
\frac{BD}{DC}=\frac{c}{a}=\frac{AD}{DE}.
Кроме того, из подобия треугольников AFB
и CFG
следует, что
\frac{AF}{FC}=\frac{c}{a}=\frac{BF}{FG}.
При этом треугольники ACE
и BCF
равнобедренные, EC=AC
и CG=BC
. Значит,
\frac{AD}{BF}=\frac{AD}{DE}\cdot\frac{FG}{BF}=\frac{AB}{EC}\cdot\frac{CG}{AB}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{BC}{AB}=\frac{c}{b}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a}{b}\lt1,
или AD\lt BF
. Противоречие. Следовательно, AC=BC
.