16104. Докажите, что среди всех треугольников с заданной описанной окружностью наименьший периметр имеет равносторонний.
Решение. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, полупериметр треугольника равен p
, площадь равна S
, радиус равен r=1
. Тогда
S=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},~\mbox{или}~\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{p}.
Поскольку
p=(p-a)+(p-b)+(p-c),
то (см. примечание к задаче 3399)
\sqrt{p}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}\leqslant\frac{(p-a)+(p-b)+p-c)}{3},
причём равенство достигается, если p=a=p-b=p-c
, т. е. когда a=b=c
.