16108. Дан треугольник ABC
с углами \alpha
, \beta
и \gamma
при вершинах A
, B
и C
соответственно, причём \alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma
. На продолжениях сторон BC
, AC
и AB
за точки C
, C
и B
отмечены точки L
, M
и N
соответственно, причём
\angle CLI=\frac{1}{2}(\gamma-\beta),~\angle AMI=\frac{1}{2}(\gamma-\alpha),~\angle BNI=\frac{1}{2}(\beta-\alpha).
Докажите, что точки L
, M
и N
лежат на одной прямой.
Решение. Заметим, что
\angle AIN=180^{\circ}-(\angle BAI+\angle BNI)=180^{\circ}-\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2}\right)=180^{\circ}-\frac{\beta}{2}=\angle NBI.
В дальнейшем все отрезки будем считать направленными.
Треугольники ANI
и INB
с общим углом при вершине N
подобны по двум углам. Тогда
\frac{AN}{IN}=\frac{IN}{BN},~\frac{NI}{NB}=\frac{AI}{IB}
поэтому
AN=\frac{IN^{2}}{BN},~
Значит,
\frac{AN}{BN}=\frac{\frac{IN^{2}}{BN}}{BN}=\frac{IN^{2}}{BN^{2}}=\frac{AI^{2}}{BI^{2}}.
Аналогично,
\frac{BL}{CL}=\frac{BI^{2}}{CI^{2}},~\frac{CM}{AM}=\frac{CI^{2}}{AI^{2}}.
Тогда
\frac{AN}{NB}\cdot\frac{BL}{LC}\cdot\frac{CM}{MA}=\left(-\frac{AN}{BN}\right)\cdot\left(-\frac{BL}{CL}\right)\cdot\left(-\frac{CM}{MA}\right)=-\frac{AI^{2}}{BI^{2}}\cdot\frac{BI^{2}}{CI^{2}}\cdot\frac{CI^{2}}{AI^{2}}=-1.
Следовательно, по теореме Менелая точки L
, M
и N
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.