16117. Докажите, что если точка Торричелли T
треугольника ABC
(см. задачу 6700) со сторонами BC=a
, CA=b
, AB=c
и площадью S
лежит внутри этого треугольника, а TA=u
, TB=v
и TC=w
, то
u^{2}+v^{2}+w^{2}-uv-uw-vw-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}=2S\sqrt{3}.
Решение. По теореме косинусов из треугольников BCT
, ACT
и ABT
получаем
a^{2}=v^{2}+w^{2}-2vw\cos120^{\circ},
b^{2}=u^{2}+w^{2}-2uw\cos120^{\circ},
c^{2}=u^{2}+v^{2}-2uv\cos120^{\circ},
а так как
S=S_{\triangle BCF}+S_{\triangle ACF}+S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}uv\sin120^{\circ}+\frac{1}{2}uw\sin120^{\circ}+\frac{1}{2}vw\sin120^{\circ}=
=\frac{\sqrt{3}}{4}(uv+vw+uw),
то
u^{2}+v^{2}+w^{2}-uv-uw-vw=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}-uv-vw-uw=
=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}-2S\sqrt{3}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Поскольку
(u-v)^{2}+(v-w)^{2}+(u-w)^{2}\geqslant0~\Rightarrow~u^{2}+v^{2}+w^{2}\geqslant~uv+vw+uw,
для любого такого треугольника (т. е. для треугольника, наибольший угол которого меньше 120^{\circ}
) верно неравенство
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant4S\sqrt{3}.
В задаче 3969 это неравенство доказано для любого треугольника.