16136. Углы при вершинах A
, B
и C
остроугольного треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, причём \alpha\lt\beta\lt\gamma
. Докажите, что
\sin^{2}\beta\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)\gt\sin^{2}\alpha\sin\frac{\beta}{2}\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right).
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
и AB=c
. Пусть AD
и BE
— биссектрисы треугольника ABC
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BEC=\alpha+\frac{\beta}{2},~\angle ADC=\beta+\frac{\alpha}{2}.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) находим, что
EC=\frac{ab}{a+c},~DC=\frac{ab}{b+c}.
По теореме синусов из треугольников ACD
и BCD
получаем
\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)}=\frac{EC}{BC}=\frac{\frac{ab}{a+c}}{a}=\frac{b}{a+c},
\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\left(\beta+\frac{b\alpha}{2}\right)}=\frac{CD}{AC}=\frac{\frac{ab}{b+c}}{b}=\frac{a}{b+c}.
Поскольку \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{b}{a}
, то
\sin^{2}\beta\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)\gt\sin^{2}\alpha\sin\frac{\beta}{2}\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\frac{\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha}\gt\frac{\sin\frac{\beta}{2}\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)}~\Leftrightarrow~\frac{b^{2}}{a^{2}}\gt\frac{b}{a+c}\cdot\frac{b+c}{a}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~b(a+c)\gt a(b+c)~\Leftrightarrow~b\gt a.
Последнее неравенство верно, так как против большего угла треугольника лежит большая сторона. Отсюда следует утверждение задачи.