16147. Пять точек P
, P_{1}
, P_{2}
, P_{3}
и P_{4}
расположены на окружности. Обозначим через d_{12}
, d_{34}
, d_{13}
и d_{24}
расстояния от точки P
до прямых P_{1}P_{2}
, P_{3}P_{4}
, P_{1}P_{3}
и P_{2}P_{4}
соответственно. Докажите, что d_{12}d_{34}=d_{13}d_{24}
.
Решение. Пусть радиус окружности равен R
. Записав двумя способами удвоенную площадь треугольника PP_{1}P_{2}
, получим
d_{12}\cdot P_{1}P_{2}=2S_{\triangle PP_{1}P_{2}}=PP_{1}\cdot PP_{2}\sin\angle P_{1}PP_{2},
а так как по теореме синусов P_{1}P_{2}=2R\sin\angle P_{1}PP_{2}
, то
d_{12}=\frac{PP_{1}\cdot PP_{2}\sin\angle P_{1}PP_{2}}{P_{1}P_{2}}=\frac{PP_{1}\cdot PP_{2}}{2R}.
Аналогично,
d_{34}=\frac{PP_{3}\cdot PP_{4}}{2R},~d_{13}=\frac{PP_{1}\cdot PP_{3}}{2R},~d_{24}=\frac{PP_{2}\cdot PP_{4}}{2R}.
Значит,
d_{12}d_{34}=d_{13}d_{24}~\Leftrightarrow~\left(\frac{PP_{1}\cdot PP_{2}}{2R}\right)\cdot\left(\frac{PP_{3}\cdot PP_{4}}{2R}\right)=\left(\frac{PP_{1}\cdot PP_{3}}{2R}\right)\cdot\left(\frac{PP_{2}\cdot PP_{4}}{2R}\right)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~PP_{1}\cdot PP_{2}\cdot PP_{3}\cdot PP_{4}=PP_{1}\cdot PP_{3}\cdot PP_{2}\cdot PP_{4}.
Последнее равенство очевидно. Отсюда следует утверждение задачи.