1615. Точка D
лежит на стороне BC
треугольника ABC
, а точка O
расположена на отрезке AD
, причём AO:OD=9:4
. Прямая, проходящая через вершину B
и точку O
, пересекает сторону AC
в точке E
, причём BO:OE=5:6
. Найдите отношение, в котором точка E
делит сторону AC
.
Ответ. 21:44
.
Указание. Через вершину B
проведите прямую, параллельную AC
.
Решение. Через точку B
проведём прямую, параллельную AC
, и продолжим AD
до пересечения с этой прямой в точке T
. Из подобия треугольников BOT
и EOA
следует, что
BT=AE\cdot\frac{BO}{OE}=\frac{5}{6}AE.
Обозначим AO=9x
, OD=4x
. Из подобия треугольников BOT
и EOA
следует, что
OT=5\cdot\frac{1}{6}AO=\frac{15x}{2}.
Поэтому
\frac{AC}{BT}=\frac{AD}{DT}=\frac{13x}{\frac{15x}{2}-4x}=\frac{26}{7},
AC=26\cdot\frac{1}{7}BT=\frac{26}{7}\cdot\frac{5}{6}AE=65\cdot\frac{1}{21}AE.
Тогда
EC=AC-AE=\left(\frac{65}{21}-1\right)AE=44\cdot\frac{1}{21}AE.
Следовательно,
\frac{AE}{EC}=\frac{21}{44}.