16160. В окружность вписан треугольник PQR
со сторонами PQ=PR=3
и QR=2
. Касательная к окружности, проведённая в точке Q
пересекает прямую PR
в точке X
. Найдите RX
.
Ответ. \frac{12}{5}
.
Решение. Поскольку QP\gt QR
, точки Q
и R
лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра к отрезку PR
, поэтому касательная в точке Q
пересекает продолжение стороны PR
за точку R
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle RQX=\angle QPR=\angle QPX.
Значит, треугольники QRX
и PQX
с общим углом при вершине X
подобны по двум углам. Обозначим PX=x
. Тогда
\frac{x}{XQ}=\frac{RX}{XQ}=\frac{RQ}{PQ}=\frac{2}{3}~\Rightarrow~XQ=\frac{3}{2}x~\Rightarrow~XQ^{2}=\frac{9}{4}x^{2}.
По теореме о касательной и секущей
XQ^{2}=XR\cdot XP=x(x+3).
Значит,
\frac{9}{4}x^{2}=x(x+3)~\Rightarrow~\frac{9}{4}x=x+3~\Rightarrow~x=\frac{12}{5}.