16162. Точки X
и Y
лежат на сторонах соответственно AD
и BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Точка P
лежит на отрезке XY
, причём \angle AXP=\angle BYP=\angle APB=\theta
и \angle CPD=180^{\circ}-\theta
для некоторого \theta
.
а) Докажите, что AD\cdot BC\geqslant4PX\cdot PY
.
б) В каком случае достигается равенство?
Ответ. б) В случае, когда X
и Y
— середины сторон AD
и BC
соответственно.
Решение. а) Треугольники APX
и PYB
подобны по двум углам, поскольку
\angle AXP=\angle PYB=\theta,
а так как BPX
— внешний угол треугольника BPY
, то
\angle APX=\angle BPX-\angle APB=(\angle PBY+\angle PYB)-\angle APB=
=(\angle PBY+\theta)-\theta=\angle PBY.
Значит,
\frac{AX}{PY}=\frac{PX}{PY}~\Rightarrow~AX\cdot BY=PX\cdot PY.
Аналогично, из подобия треугольников DPX
и PCY
получаем
\frac{DX}{PY}=\frac{PX}{CY}~\Rightarrow~DX\cdot CY=PX\cdot PY.
Значит (см. задачу 3399),
AD=AX+DX\geqslant2\sqrt{AX\cdot DX}~\mbox{и}~BC=BY+CY\geqslant2\sqrt{BY\cdot CY}.
Перемножив эти неравенства, получим
AD\cdot BC\geqslant4\sqrt{AX\cdot BY\cdot DX\cdot CY}=4\sqrt{PX\cdot PY\cdot PX\cdot PY}=4PX\cdot PY.
Что и требовалось доказать.
б) В доказанном неравенстве равенство достигается в случае, когда AX=DX
и BY=CY
, т. е. когда X
и Y
— середины сторон AD
и BC
соответственно. Докажем, что в этом случае существует выпуклый четырёхугольник ABCD
с указанными в условиями свойствами.
Возьмём произвольный треугольник BPC
. На продолжении его медианы PY
за точку P
отложим отрезок PE
, а также отметим точку A
так, чтобы
\angle APE=\angle PBC~\mbox{и}~\angle AEP=\angle PCB,
и точку X
— середину отрезка PE
. Тогда треугольники AEP
и PCB
подобны по двум углам, поэтому соответствующие медианы AP
и PY
этих треугольников образуют равные углы с соответствующими сторонами, т. е.
\angle PXA=\angle BYP~\mbox{и}~\angle PAX=\angle BPY.
Значит,
\angle APB=180^{\circ}-\angle APE-\angle BPY=180^{\circ}-\angle PBC-\angle BPY=
=\angle BYP=\angle PXA.
Обозначим \angle PXA=\theta
. Пусть D
— точка, симметричная точке A
относительно X
. Тогда четырёхугольник ABCD
удовлетворяет всем условиям задачи. На самом деле, осталось доказать только равенство
\angle DPC=180^{\circ}-\theta.
Поскольку треугольники AEP
и PCB
подобны, \angle XAE=\angle YPC
, а так как треугольники AXE
и DXP
равны по двум сторонам и углу между ними, то \angle XEA=\angle XPD
. Тогда
\angle DPC=180^{\circ}-\angle YPC-\angle XPD=180^{\circ}-\angle XAE-\angle XEA=
=\angle AXE=180^{\circ}-\angle PXA=180^{\circ}-\theta.
Что и требовалось.