16164. На плоскости расположены параллелограммы ABCD
и AB_{1}C_{1}D_{1}
. Докажите, что если векторы \overrightarrow{BB_{1}}
, \overrightarrow{CC_{1}}
и \overrightarrow{DD_{1}}
неколлинеарны, то из отрезков BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
можно составить треугольник.
Решение. Обозначим \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{AD_{1}}=\overrightarrow{a_{1}}
и \overrightarrow{AB_{1}}=\overrightarrow{b_{1}}
. Тогда
\overrightarrow{BB_{1}}=\overrightarrow{b_{1}}-\overrightarrow{b},~\overrightarrow{DD_{1}}=\overrightarrow{a_{1}}-\overrightarrow{a},~
\overrightarrow{CC_{1}}=(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{b_{1}}+\overrightarrow{a_{1}})=(\overrightarrow{b_{1}}-\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{a_{1}}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}}.