16168. Углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Докажите, что треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда
a\cos(\beta-\gamma)+b\cos(\gamma-\alpha)+c\cos(\alpha-\beta)=\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{abc}.
Решение. Если треугольник равносторонний, то правая и левая части равенства из условия равны 3a
. Отсюда следует необходимость данного условия.
Пусть теперь верно данное в условии равенство. Тогда (см. задачу 3399)
a^{4}+b^{4}+c^{4}=\frac{a^{4}+b^{4}}{2}+\frac{b^{4}+c^{4}}{2}+\frac{c^{4}+a^{4}}{2}\geqslant a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}=
=a^{2}\left(\frac{b^{2}+c^{2}}{2}\right)+b^{2}\left(\frac{c^{2}+a^{2}}{2}\right)+a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\right)\geqslant a^{2}bc+b^{2}ca+c^{2}ab=
=abc(a+b+c).
Значит,
\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{abc}\geqslant a+b+c\geqslant a\cos(\beta-\gamma)+b\cos(\gamma-\alpha)+c\cos(\alpha-\beta)=
=\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{abc},
и равенство
\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{abc}=a+b+c
выполняется тогда и только тогда, когда
a=b=c~\mbox{и}~a+b+c=a\cos(\beta-\gamma)+b\cos(\gamma-\alpha)+c\cos(\alpha-\beta),
т. е. тогда и только тогда, когда
\cos(\beta-\gamma)=\cos(\gamma-\alpha)=\cos(\alpha-\beta),
т. е. тогда и только тогда, когда
\alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}.
Отсюда получаем достаточность данного условия.