16175. Диагонали AC
и BD
вписанного в окружность четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Известно, что AE+ED=BE+EC
. Докажите, что ABCD
— трапеция или квадрат.
Решение. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, и AE+ED=BE+EC
, поэтому
AE\cdot EC=BE\cdot ED~\Rightarrow~(BE+EC-ED)\cdot EC=BE\cdot ED~\Rightarrow~
~\Rightarrow~BE\cdot EC+EC^{2}-ED\cdot EC-BE\cdot ED=0~\Rightarrow~
~\Rightarrow~(EC-ED)(BE+EC)=0~\Rightarrow~EC=ED.
Тогда
\angle ACD=\angle DCE=45^{\circ}=\angle BAE=\angle DCE=\angle BAC.
Значит, AB\parallel CD
.
Если при этом AE\ne EC
, то ABCD
— равнобедренная трапеция, а если AE=ED
, то ABCD
— квадрат.