16179. На окружности расположены фиксированные точки A
и B
. Точка P
перемещается по окружности, а точка M
лежит либо на отрезке AP
, и при этом AM=MP+PB
, либо на отрезке BP
, и при этом BM=AP+PM
. Найдите геометрическое место точек M
.
Ответ. См. рис. 1.
Решение. Пусть серединный перпендикуляр к хорде AB
пересекает данную окружность \Gamma
в точках X
и Y
(см. рис. 2), а хорду AB
— в точке N
. Тогда XA=XB
и YA=YB
, а \angle XNA=90^{\circ}
.
Пусть точка P
лежит на меньшей дуге XB
. Тогда PA\geqslant PB
.
На продолжении отрезка AP
за точку P
отложим отрезок PC=PB
. Поскольку
AM=MP+PB=MP+PC=MC,
точка M
— середина отрезка AC
, а так как
\angle XPC=180^{\circ}-\angle XPA=180^{\circ}-\angle XBA=\angle XPB,
то треугольники XPC
и XPB
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
XC=XB=XA.
Тогда медиана XM
равнобедренного треугольника AXC
является его высотой, т. е.
\angle XMA=90^{\circ}=\angle XNA.
Таким образом, точки M
и N
лежат на окружности \gamma
с диаметром AX
.
Если точка P
перемещается по меньшей дуге BX
окружности \Gamma
от B
к X
, то точка M
перемещается по меньшей дуге NX
окружности с диаметром AX
. Аналогично, если точка P
перемещается по меньшей дуге AX
окружности \Gamma
от X
к A
, то точка M
перемещается по меньшей дуге NX
окружности с диаметром BX
.
Точно так же докажем, что если точка P
перемещается по меньшей дуге BY
окружности \Gamma
, то точка M
перемещается по меньшей дуге NY
окружности с диаметром AY
, а если точка P
перемещается по меньшей дуге AY
окружности \Gamma
, то точка M
перемещается по меньшей дуге NY
окружности с диаметром BY
.
Следовательно, искомое ГМТ состоит из четырёх указанных дуг (см. рис. 1).