16183. Назовём чевианой Жергонна отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, в которой вписанная окружность треугольника касается его противоположной стороны. Найдите единственный (с точностью до подобия) треугольник ABC
, в котором чевиана Жергонна BE
делит пополам медиану AM
, а чевиана Жергонна CF
делит пополам медиану BN
.
Ответ. Треугольник со сторонами, пропорциональными числам 5, 6 и 3.
Решение. Пусть полупериметр треугольника ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
равен p
. Тогда AE=p-a
и CE=p-c
(см. задачу 219).
Первый способ. Отметим середину D
отрезка CE
. Тогда MD
— средняя линия треугольника CBD
, поэтому MD\parallel BE
, а так как по условию прямая BE
проходит через середину медианы AM
, то E
— середина AD
. Значит,
AE=\frac{1}{3}AC~\Rightarrow~p-a=\frac{1}{3}b~\Rightarrow~\frac{b+c-a}{2}=\frac{1}{3}b~\Rightarrow~3(b+c-a)=2b.
Аналогично,
3(c+a-b)=2c.
Из системы
\syst{3(b+c-a)=2b\\3(c+a-b)=2c\\}
находим, что
\frac{a}{5}=\frac{b}{6}=\frac{c}{3}.
Второй способ. Пусть P
— середина медианы AM
. По теореме Менелая для треугольника AMC
и прямой CF
получаем
1=\frac{AP}{PM}\cdot\frac{MB}{BC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{p-c}{p-a},
откуда
2(p-a)=p-c~\Rightarrow~2(b+c-a)=a+b-c~\Rightarrow~b=3a-3c.
Аналогично, по теореме Менелая для треугольника BNA
и прямой CF
CF
получаем
c=3b-3a.
Из системы
\syst{b=3a-3c\\c=3b-3a\\}
находим, что
\frac{a}{5}=\frac{b}{6}=\frac{c}{3}.