1625. Прямая, соединяющая точку P
пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
с точкой Q
пересечения прямых AB
и CD
, делит сторону AD
пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону BC
.
Указание. Докажите, что ABCD
— трапеция.
Решение. Первый способ. Если точки P
и Q
лежат по разные стороны от прямой BC
, то точка P
принадлежит медиане QM
треугольника QAD
. Если же по одну, то точка P
принадлежит продолжению медианы QM
треугольника QAD
. Докажем, что в каждом из этих случаев BC\parallel AD
.
Действительно, пусть QM
— медиана треугольника QAD
. Проведём через вершину Q
прямую, параллельную AD
. Пусть N
и K
— точки пересечения этой прямой с продолжениями отрезков AC
и DB
соответственно. Тогда
QN=AM\cdot\frac{QP}{PM}=DM\cdot\frac{QP}{PM}=QK.
Поэтому
\frac{QC}{CD}=\frac{QN}{AD}=\frac{QK}{AD}=\frac{QB}{AB}.
Следовательно, BC\parallel AD
. Тогда ABCD
— трапеция. По замечательному свойству трапеции (см. задачу 1513) прямая PQ
проходит через середину BC
. Аналогично для второго случая.
Второй способ. Если точки P
и Q
лежат по разные стороны от прямой BC
, то точка P
принадлежит медиане QM
треугольника QAD
. Если же по одну, то точка P
принадлежит продолжению медианы QM
треугольника QAD
. Докажем, что в каждом из этих случаев BC\parallel AD
.
Действительно, пусть QM
— медиана треугольника QAD
. Поскольку отрезки AC
, DB
и QM
пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы (см. задачу 1621)
\frac{QB}{BA}\cdot\frac{AM}{MD}\cdot\frac{DC}{CQ}=1,
а так как \frac{AM}{MD}=1
, то
\frac{QB}{BA}\cdot\frac{DC}{CQ}=1,
откуда находим, что
\frac{QB}{BA}=\frac{CQ}{DC}.
Следовательно, BC\parallel AD
. Тогда ABCD
— трапеция. По замечательному свойству трапеции прямая PQ
проходит через середину BC
. Аналогично для второго случая.