1631. Пусть M
и N
— середины сторон AD
и BC
прямоугольника ABCD
. На продолжении отрезка DC
за точку D
взята точка P
; Q
— точка пересечения прямых PM
и AC
. Докажите, что \angle QNM=\angle MNP
.
Указание. Проведите через центр прямоугольника прямую, параллельную стороне BC
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через центр O
данного прямоугольника параллельно BC
, пересекает отрезок QN
в точке K
. Поскольку MO\parallel PC
, то QM:MP=QO:OC
, а так как KO\parallel BC
, то QC:OC=QK:KN
. Поэтому QM:MP=QK:KN
. Тогда KM\parallel NP
. Следовательно,
\angle MNP=\angle KMO=\angle KNM=\angle QNM.