1652. Дана трапеция ABCD
(BC\parallel AD
). Точки P
, M
, Q
, N
являются серединами сторон AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Докажите, что отрезки AQ
, PD
и MN
пересекаются в одной точке.
Указание. Примените замечательное свойство трапеции (точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований лежат на одной прямой, см. задачу 1513).
Решение. Поскольку четырёхугольник PMQN
параллелограмм (см. задачу 1204), точка F
пересечения отрезков PQ
и MN
— середина отрезка PQ
. В трапеции APQD
точка пересечения диагоналей AQ
и DP
лежит на прямой, проходящей через середины F
и N
оснований PQ
и AD
(замечательное свойство трапеции, см. задачу 1513).