1658. Через точку, взятую внутри произвольного треугольника, параллельно его сторонам проведены отрезки с концами на сторонах треугольника. Докажите, что сумма трёх отношений этих отрезков к параллельным им сторонам треугольника равна 2.
Указание. Рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Пусть O
— произвольная точка, взятая внутри треугольника ABC
; A_{1}A_{2}\parallel BC
, B_{1}B_{2}\parallel AC
, C_{1}C_{2}\parallel AB
(рис. 1). Обозначим
A_{2}C=OB_{2}=x,~A_{2}C_{1}=y,~AC_{1}=OB_{1}=z.
Тогда
\frac{C_{1}C_{2}}{AB}=\frac{CC_{1}}{AC}=\frac{x+y}{AC},~\frac{A_{1}A_{2}}{BC}=\frac{AA_{2}}{AC}=\frac{z+y}{AC},~\frac{B_{1}B_{2}}{AC}=\frac{x+z}{AC}.
Поэтому
\frac{A_{1}A_{2}}{BC}+\frac{B_{1}B_{2}}{AC}+\frac{C_{1}C_{2}}{AB}=\frac{z+y}{AC}+\frac{x+z}{AC}+\frac{x+y}{AC}=\frac{2(x+y+z)}{AC}=2.