1661. Через точку пересечения биссектрисы угла A
треугольника ABC
и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне BC
. Докажите, что меньшее основание образовавшейся трапеции равно полусумме её боковых сторон.
Указание. Через вершину A
проведите прямую, параллельную стороне BC
; рассмотрите подобные треугольники; воспользуйтесь свойством биссектрисы треугольника.
Решение. Пусть AL
, BE
и CF
— биссектрисы треугольника ABC
; K
— точка пересечения отрезков EF
и AL
; M
и N
— точки пересечения прямой, проходящей через точку K
параллельно BC
, со сторонами AB
и AC
соответственно. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
.
Через вершину A
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть прямая FE
пересекает её в точке T
, а прямую BC
— в точке P
. Обозначим BP=x
.
Из подобия треугольников AET
и CEP
следует, что
AT=PC\cdot\frac{AE}{EC}=PC\cdot\frac{AB}{BC}=\frac{(a+x)c}{a},
а из подобия треугольников AFT
и BFP
—
AT=BP\cdot\frac{AF}{FB}=BP\cdot\frac{AC}{BC}=\frac{xb}{a}.
Из уравнения \frac{(a+x)c}{a}=\frac{xb}{a}
находим, что x=\frac{ac}{b-c}
. Тогда
AT=\frac{bc}{b-c},~PL=BP+BL=\frac{ac}{b-c}+\frac{ac}{b+c}=\frac{2abc}{b^{2}-c^{2}}.
Из подобия треугольников AKT
и LKP
находим, что
\frac{AK}{KL}=\frac{AT}{PL}=\frac{b+c}{2a}.
Поскольку MN\parallel BC
, то
MN=BC\cdot\frac{AK}{AL}=\frac{a(b+c)}{2a+b+c},
BM=AB\cdot\frac{KL}{AL}=\frac{2ac}{2a+b+c},
CN=AC\cdot\frac{KL}{AL}=\frac{2ab}{2a+b+c}.
Следовательно,
BM+CN=\frac{2a(b+c)}{2a+b+c}=2MN.