1672. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, вдвое меньше другой биссектрисы. Найдите углы треугольника.
Ответ. 36^{\circ}
, 36^{\circ}
, 108^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть A
— вершина равнобедренного треугольника ABC
, а его биссектриса AM
вдвое меньше биссектрисы BD
. На продолжении биссектрисы AM
за точку M
отложим отрезок MK
, равный AM
. Тогда BK\parallel AD
и AK=BD
. Если P
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, то BP=KP
(BADK
— трапеция с равными диагоналями AK
и BD
, пересекающимися в точке P
). Обозначим \angle ABP=\alpha
. Тогда
\angle PKB=\angle PBK=3\alpha,~\angle BAK=90^{\circ}-2\alpha,~\angle BPK=\angle ABP+\angle BAK,
или
180^{\circ}-6\alpha=\alpha+(90^{\circ}-2\alpha).
Из этого уравнения находим, что \alpha=18^{\circ}
. Следовательно, \angle ABC=36^{\circ}
.
Второй способ. Пусть A
— вершина равнобедренного треугольника ABC
, а его биссектриса AM
вдвое меньше биссектрисы BD
. Обозначим \angle ABD=\angle CBD=\alpha
. Тогда \angle ACB=\angle ABC=2\alpha
.
Через точку M
проведём прямую, параллельную биссектрисе BD
. Пусть E
— точка пересечения этой прямой со стороной AC
. Тогда ME
— средняя линия треугольника BCD
, поэтому ME=\frac{1}{2}BD=AM
, а \angle CME=\angle CBD=\alpha
. Треугольник AME
равнобедренный, поэтому
\angle MAD=\angle AEM=\angle CME+\angle MCE=\alpha+2\alpha=3\alpha,
\angle BAC=2\angle MAD=6\alpha.
Сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, поэтому
2\alpha+2\alpha+6\alpha=180^{\circ}.
Отсюда находим, что \alpha=18^{\circ}
. Следовательно,
\angle ACB=\angle ABC=2\alpha=36^{\circ},~\angle BAC=6\alpha=108^{\circ}.
Третий способ. Пусть A
— вершина равнобедренного треугольника ABC
, а его биссектриса AM
вдвое меньше биссектрисы BD
. Обозначим \angle ABD=\angle CBD=\alpha
. Тогда \angle ACB=\angle ABC=2\alpha
.
Через точку E
проведём прямую, перпендикулярную основанию BC
, и продолжим боковую сторону AC
до пересечения с проведённой прямой в точке E
. Тогда AM
— средняя линия прямоугольного треугольника CBE
, поэтому
BE=2AM=BD.
Тогда
\angle BDE=\angle BED=90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-2\alpha,
а так как BDE
— внешний угол треугольника BDC
, то
\angle BDE=\angle BCD+\angle CBD,~\mbox{или}~90^{\circ}-2\alpha=2\alpha+\alpha,
откуда \alpha=18^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=\angle ACB=2\alpha=36^{\circ},~\angle BAC=180^{\circ}-2\cdot18^{\circ}=108^{\circ}\gt
Поскольку BDE
— внешний угол треугольника BDC