1677. а) Докажите, что диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.
б) Докажите, что окружность симметрична относительно её центра и относительно любой прямой, проходящей через центр
Указание. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой.
Решение. а) Пусть O
— центр окружности, AB
— хорда, не являющаяся диаметром, M
— середина AB
. Точки A
, O
и B
не лежат на одной прямой, поэтому эти точки — вершины треугольника. Поскольку OA=OB
, то треугольник AOB
— равнобедренный. Его медиана OM
является высотой. Значит, OM\perp AB
. Следовательно, диаметр окружности, проходящий через точку M
, перпендикулярен хорде AB
.
б) Центр окружности есть середина любого её диаметра, следовательно, окружность симметрична относительно центра.
Проведём произвольный диаметр AB
. Если точка M
совпадает с A
или B
, то при симметрии относительно прямой AB
точка остаётся на месте. В остальных случаях опустим перпендикуляр MH
из точки M
на диаметр AB
и продолжим его до пересечения с окружностью в точке M'
. Диаметр AB
, перпендикулярный хорде MM'
, делит её пополам, значит, точка, симметричная точке M
относительно прямой AB
, также лежит на окружности. Отсюда следует, что окружность симметрична относительно прямой AB
.