1683. Разделите окружность с данным центром на шесть равных частей, пользуясь только циркулем.
Указание. С центром в произвольной точке данной окружности проведём окружность радиусом, равным радиусу данной окружности. Пусть B
— одна из точек пересечения окружностей. С центром в точке B
проведём окружность того же радиуса и т. д.
Решение. Возьмём на окружности радиуса R
произвольную точку A
. С центром в этой точке проведём окружность радиуса R
. Пусть B
и C
— точки пересечения окружностей. С центрами в этих точках проведём ещё две окружности радиуса R
. Пусть D
и E
— отличные от A
точки пересечения этих окружностей с данной. С центром в точке D
проведём ещё одну окружность радиуса R
. Обозначим через F
отличную от B
точку пересечения этой окружности с данной. Докажем, что точки A
, B
, D
, F
, E
и C
делят данную окружность на 6 равных частей.
В самом деле, если O
— центр данной окружности, то все стороны треугольников AOB
, BOD
, DOF
, FOE
, EOC
и AOC
равны R
. Значит, эти треугольники равносторонние. Следовательно,
\angle AOB=\angle BOD=\angle DOF=\angle FOE=\angle EOC=\angle AOC=60^{\circ},
а это означает, что построенные точки делят окружность на 6 равных частей.