1688. На сторонах BC
, CA
, AB
треугольника ABC
взяты точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
соответственно. Докажите, что
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{\sin\angle ACC_{1}}{\sin\angle C_{1}CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_{1}}{\sin\angle A_{1}AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_{1}}{\sin\angle B_{1}BA}.
Указание. Примените теорему синусов к треугольникам ACC_{1}
и BCC_{1}
.
Решение. Применяя теорему синусов к треугольникам ACC_{1}
и BCC_{1}
, получим, что
\frac{AC_{1}}{C_{1}C}=\frac{\sin\angle ACC_{1}}{\sin\angle BAC},~\frac{CC_{1}}{C_{1}B}=\frac{\sin\angle ABC}{\sin\angle C_{1}CB},
откуда
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{\sin\angle ACC_{1}}{\sin\angle C_{1}CB}\cdot\frac{\sin\angle ABC}{\sin\angle BAC}.
Аналогично,
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{\sin\angle BAA_{1}}{\sin\angle A_{1}AC}\cdot\frac{\sin\angle ACB}{\sin\angle ABC},~\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{\sin\angle CBB_{1}}{\sin\angle B_{1}BA}\cdot\frac{\sin\angle BAC}{\sin\angle ACB}.
Перемножив почленно эти три равенства, получим, что
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{\sin\angle ACC_{1}}{\sin\angle C_{1}CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_{1}}{\sin\angle A_{1}AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_{1}}{\sin\angle B_{1}BA}.
Примечание. 1. Аналогичное утверждение справедливо и для отношений ориентированных отрезков и углов в том случае, когда точки взяты на продолжениях сторон.
2. Следствие (тригонометрическая форма теоремы Чевы, см. задачу 1900). На сторонах BC
, CA
, AB
треугольника ABC
взяты точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
соответственно. Прямые AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
\frac{\sin\angle ACC_{1}}{\sin\angle C_{1}CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_{1}}{\sin\angle A_{1}AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_{1}}{\sin\angle B_{1}BA}=1.