1717. Даны окружность, её центр O
и две точки A
и B
, не лежащие на окружности. Пользуясь только циркулем, постройте точки пересечения окружности с прямой AB
, если известно, что:
а) прямая AB
не проходит через центр окружности;
б) прямая AB
проходит через центр окружности.
Указание. а) Постройте точку, симметричную данному центру O
относительно прямой AB
.
б) Пусть прямая AB
проходит через центр окружности. С центром в точке A
построим окружность, пересекающую данную в двух точках C
и D
. Затем разделим пополам обе дуги CD
(см. задачу 2675). Середины этих дуг CD
есть искомые точки пересечения прямой AB
с данной окружностью.
Решение. а) С центрами в данных точках A
и B
проведём окружности радиусов AO
и BO
соответственно. Пусть Q
— точка пересечения построенных окружностей, отличная от O
. С центром в точке Q
построим окружность радиусом, равным радиусу данной окружности. Точки пересечения окружностей с центрами O
и Q
— искомые точки пересечения прямой AB
с данной окружностью.
Действительно, точки пересечения окружностей с центрами O
и Q
, а также точки A
и B
лежат на одной прямой — серединном перпендикуляре к отрезку OQ
.
Примечание. Построение с помощью одного циркуля середины дуги окружности изложено, например, в III главе книги Р.Куранта и Г.Роббинса «Что такое математика?».