1730. Точка D
лежит на стороне BC
треугольника ABC
. В треугольники ABD
и ACD
вписаны окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
. Докажите, что треугольник O_{1}DO_{2}
— прямоугольный.
Указание. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
Решение. Поскольку окружности вписаны в углы ADB
и ADC
, то их центры лежат на биссектрисах этих углов. Поэтому
\angle O_{1}DO_{2}=\angle O_{1}DA+\angle ADO_{2}=\frac{1}{2}\angle ADB+\frac{1}{2}\angle ADC=
=\frac{1}{2}(\angle ADB+\angle ADC)=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ}