1739. Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит его сторону, и радиус вписанной окружности.
Указание. Центр вписанной окружности треугольника лежит на перпендикуляре к стороне треугольника, проведённом через точку касания.
Решение. Предположим, что искомый треугольник ABC
построен. Пусть O
— центр вписанной в него окружности, M
— точка касания со стороной BC
. Поскольку радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, точка O
лежит на перпендикуляре к BC
, проведённом через точку M
. Отсюда вытекает следующее построение.
Проведём произвольную прямую. Возьмём на ней произвольную точку M
. По разные стороны от этой точки отложим отрезки MB
и MC
, равные данным. Через точку M
проведём прямую, перпендикулярную BC
. На ней отложим отрезок MO
, равный данному радиусу, и построим окружность с центром O
и радиусом OM
. Через точки B
и C
проведём касательные к этим окружностям. Они пересекутся в вершине A
искомого треугольника.
Если хотя бы один из данных отрезков больше данного радиуса, задача имеет единственное решение. В остальных случаях решений нет.