1743. Докажите, что серединный перпендикуляр к стороне неравнобедренного треугольника и биссектриса угла, противолежащего этой стороне, пересекаются на описанной окружности треугольника.
Решение. Пусть биссектриса угла при вершине A
треугольника ABC
, пересекает его описанную окружность в точке K
. Тогда K
— середина дуги, не содержащей точки A
(см. задачу 430). В то же время, точка K
равноудалена от концов отрезка BC
, следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре к BC
.
Примечание. Биссектриса внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
и серединный перпендикуляр к стороне BC
также пересекаются на описанной окружности треугольника ABC
.
Действительно, если серединный перпендикуляр к хорде BC
пересекает дугу BAC
описанной окружности треугольника ABC
в точке E
, а дополнительную дугу BC
— в точке F
, то EF
— диаметр окружности, \angle EAF=90^{\circ}
и AF
— биссектриса угла BAC
. Тогда AE
— биссектриса внешнего угла треугольника ABC
при вершине A
. Отсюда следует доказываемое утверждение.