1745. Постройте прямую, касающуюся данной окружности в данной точке, не используя центр окружности.
Указание. Если точки A
, B
и C
лежат на окружности, причём AC=BC
, то прямая, проходящая через точку C
параллельно AB
, — касательная к окружности.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку C
, лежащую на окружности с центром O
, касается этой окружности. Рассмотрим произвольную хорду AB
этой окружности, параллельную касательной. Поскольку радиус OC
перпендикулярен касательной, то OC\perp AB
, значит, прямая OC
— серединный перпендикуляр к AB
, а треугольник ABC
— равнобедренный. Отсюда вытекает следующее построение.
С центром в точке C
проводим окружность, пересекающую данную окружность в точках A
и B
. Через точку C
проводим прямую, параллельную AB
. Поскольку серединный перпендикуляр к отрезку AB
проходит через точку C
, то проведённая прямая является искомой касательной.