1770. Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности.
Ответ. Круг, ограниченный данной окружностью, без точек данной окружности.
Указание. Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Решение. Ясно, что середина каждой хорды лежит внутри круга. Пусть теперь M
— произвольная точка, лежащая внутри круга с центром O
. Докажем, что существует хорда, для которой точка M
— середина.
Действительно, если точка M
совпадает с центром круга, то искомая хорда — любой диаметр. Если же точка M
отлична от точки O
, то искомая хорда — отрезок прямой, проходящей через точку M
перпендикулярно OM
, заключённый внутри круга, так как диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.