1774. Докажите, что высота неравнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, меньше половины гипотенузы.
Указание. Проведите медиану из вершины прямого угла.
Решение. Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
с гипотенузой AB
. Проведём медиану CM
. Тогда CH
— катет прямоугольного треугольника CHM
с гипотенузой CM
, поэтому CH\lt CM
, а так как медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), то CH\lt\frac{1}{2}AB
.