1800. Точка C
лежит внутри прямого угла AOB
. Докажите, что периметр треугольника ABC
больше 2OC
.
Указание. Рассмотрите точки, симметричные точке C
относительно прямых OA
и OB
.
Решение. Пусть C_{1}
— точка, симметричная точке C
относительно прямой OA
, а C_{2}
— симметрична C
относительно прямой OB
. Тогда точки C_{1}
, O
и C_{2}
лежат на одной прямой, так как
\angle C_{1}OC_{2}=\angle C_{1}OC+\angle COC_{2}=2(\angle AOC+\angle COB)=2\cdot90^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно,
AC+BC+AB=AC_{1}+BC_{2}+AB\gt C_{1}C_{2}=2OC.