1827. Точка A
лежит на окружности. Найдите геометрическое место таких точек M
, что отрезок AM
делится этой окружностью пополам.
Ответ. Окружность без одной точки.
Указание. На продолжении диаметра AB
данной окружности за точку B
отложите отрезок BC
, равный AB
.
Решение. Пусть некоторый отрезок AM
делится данной окружностью пополам. На продолжении диаметра AB
данной окружности за точку B
отложим отрезок BC
, равный AB
. Если K
— середина AM
, то \angle AKB=90^{\circ}
, значит, высота BK
треугольника ABM
является его медианой, поэтому
BM=BA=BC.
Следовательно, точка M
лежит на окружности с центром B
и радиусом AB
.
Пусть теперь точка M
, отличная от A
, лежит на окружности с диаметром AC
, а K
— отличная от A
точка пересечения луча AM
с данной окружностью. Тогда высота BK
равнобедренного треугольника ABM
является его медианой. Следовательно, K
— середина отрезка AM
.